Les concours d’entrée dans les grandes écoles (INP-HB, ENSEA, ENS, écoles militaires) exigent une bonne maîtrise du programme de terminale. Ces 30 exercices à réponse rapide couvrent les équations, les dérivées, les limites, les probabilités, les suites et les logarithmes, du niveau première au niveau concours. Durée conseillée : 50 minutes.
Comment ça marche : écrivez votre réponse dans la case, validez avec la touche Entrée, puis lisez la correction. Utilisez les filtres pour choisir votre niveau (facile, moyen, difficile). Pour les nombres, la virgule et le point sont acceptés, ainsi que les espaces entre les milliers.
30 exercices corrigés
Résolvez l’équation 3x − 7 = 11. Écrivez la valeur de x.
3x = 11 + 7 = 18, donc x = 18 ÷ 3 = 6.
Soit f(x) = x² + 3x. Calculez f’(2). Écrivez le nombre.
f’(x) = 2x + 3, donc f’(2) = 4 + 3 = 7.
Calculez ln(e³). Écrivez le nombre.
ln et exp sont réciproques : ln(ea) = a, donc ln(e³) = 3.
Une suite arithmétique a pour premier terme u0 = 4 et pour raison 3. Calculez u10. Écrivez le nombre.
un = u0 + n × r, donc u10 = 4 + 10 × 3 = 34.
On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ? Écrivez une fraction irréductible ou un décimal.
Issues favorables : 2, 4, 6, soit 3 sur 6 : 3/6 = 1/2.
Déterminez la limite de (2x + 1)/(x − 3) quand x tend vers +∞. Écrivez le nombre.
On garde les termes de plus haut degré : 2x/x = 2.
Quelle est la solution positive de l’équation x² = 49 ? Écrivez le nombre.
x² = 49 a deux solutions, 7 et −7 ; la solution positive est 7.
Une suite géométrique a pour premier terme u0 = 3 et pour raison 2. Calculez u5. Écrivez le nombre.
un = u0 × qn, donc u5 = 3 × 25 = 3 × 32 = 96.
Soit f(x) = 5x³. Calculez f’(1). Écrivez le nombre.
f’(x) = 15x², donc f’(1) = 15.
Résolvez l’équation 2x = 32. Écrivez la valeur de x.
32 = 25, donc x = 5.
Résolvez x² − 5x + 6 = 0. Écrivez la plus grande des deux solutions.
Δ = 25 − 24 = 1 ; x = (5 ± 1)/2, soit 2 ou 3. La plus grande est 3.
Soit f(x) = x ln x sur ]0 ; +∞[. Calculez f’(e). Écrivez le nombre.
f’(x) = ln x + x × (1/x) = ln x + 1, donc f’(e) = 1 + 1 = 2.
Déterminez la limite de (x² − 4)/(x − 2) quand x tend vers 2. Écrivez le nombre.
On factorise : (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, qui tend vers 4.
Calculez la somme 1 + 2 + 3 + … + 100. Écrivez le nombre.
Somme d’une suite arithmétique : n(n + 1)/2 = 100 × 101 ÷ 2 = 5 050.
Une urne contient 3 boules rouges et 2 vertes. On tire simultanément 2 boules. Quelle est la probabilité d’obtenir 2 boules rouges ? Écrivez une fraction irréductible ou un décimal.
Nombre de tirages : C(5, 2) = 10. Tirages de 2 rouges : C(3, 2) = 3. Probabilité : 3/10 = 0,3.
Résolvez dans ]0 ; +∞[ l’équation ln x = 2 ln 3. Écrivez la valeur de x.
2 ln 3 = ln(3²) = ln 9, donc x = 9.
Calculez le discriminant Δ du trinôme 2x² − 3x − 5. Écrivez le nombre.
Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4 × 2 × (−5) = 9 + 40 = 49.
Soit f(x) = e2x. Calculez f’(0). Écrivez le nombre.
f’(x) = 2e2x, donc f’(0) = 2 × e0 = 2.
Calculez la somme 1 + 2 + 4 + 8 + … + 29. Écrivez le nombre.
Somme géométrique de raison 2 à 10 termes : (210 − 1)/(2 − 1) = 1 023.
Soit f(x) = 1/x. Quel est le coefficient directeur de la tangente à sa courbe au point d’abscisse 2 ? Écrivez une fraction ou un décimal.
f’(x) = −1/x², donc f’(2) = −1/4 = −0,25.
Calculez l’intégrale de 0 à 1 de (3x² + 2x) dx. Écrivez le nombre.
Une primitive est x³ + x². Sa valeur en 1 moins sa valeur en 0 : (1 + 1) − 0 = 2.
Déterminez la limite de √(x² + x) − x quand x tend vers +∞. Écrivez une fraction ou un décimal.
On multiplie par l’expression conjuguée : x/(√(x² + x) + x) = 1/(√(1 + 1/x) + 1), qui tend vers 1/2.
Résolvez dans ]1 ; +∞[ l’équation ln(x − 1) + ln(x + 1) = ln 8. Écrivez la valeur de x.
ln((x − 1)(x + 1)) = ln 8 donne x² − 1 = 8, soit x = 3 ou x = −3. Seul 3 appartient à l’ensemble de définition ]1 ; +∞[.
Résolvez dans ℝ l’équation e2x − 3ex + 2 = 0. Écrivez la plus grande solution sous forme exacte.
On pose X = ex > 0 : X² − 3X + 2 = 0, donc X = 1 ou X = 2. D’où x = 0 ou x = ln 2 ; la plus grande est ln 2 (environ 0,69).
X suit la loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 1/2. Calculez P(X = 2). Écrivez une fraction irréductible ou un décimal.
P(X = 2) = C(4, 2) × (1/2)² × (1/2)² = 6 × 1/16 = 6/16 = 3/8 = 0,375.
La suite (un) est définie par u0 = 2 et un+1 = 0,5 un + 3. Elle converge. Quelle est sa limite ? Écrivez le nombre.
La limite L vérifie L = 0,5L + 3, soit 0,5L = 3, donc L = 6.
Soit f(x) = (2x + 1)e−x. Calculez f’(0). Écrivez le nombre.
f’(x) = 2e−x − (2x + 1)e−x = (1 − 2x)e−x, donc f’(0) = 1.
Quel est le plus petit entier naturel n tel que 1,05n > 2 ? Écrivez le nombre.
On résout n > ln 2 / ln 1,05 ≈ 14,2. Le plus petit entier est 15 (1,0514 ≈ 1,98 et 1,0515 ≈ 2,08).
Parmi les candidats d’un concours, 60 % sont des filles. 30 % des filles et 20 % des garçons sont admis. On choisit un admis au hasard : quelle est la probabilité que ce soit une fille ? Écrivez une fraction irréductible.
P(admis) = 0,6 × 0,3 + 0,4 × 0,2 = 0,18 + 0,08 = 0,26. P(fille sachant admis) = 0,18 ÷ 0,26 = 18/26 = 9/13.
Résolvez l’équation log(x) + log(x − 3) = 1, où log est le logarithme décimal. Écrivez la valeur de x.
Pour x > 3 : log(x(x − 3)) = log 10, donc x² − 3x − 10 = 0, soit x = 5 ou x = −2. Seul 5 convient.