Cette série fait le point sur les suites et sur les fonctions exponentielle et logarithme népérien, deux chapitres incontournables du BAC. Elle convient aux candidats des concours scientifiques et économiques (INP-HB, ENSEA, écoles d’ingénieurs).
Mode d’emploi : cliquez sur la réponse de votre choix. La bonne réponse et son explication s’affichent aussitôt, et votre score apparaît à la fin. L’ordre des questions et des réponses change à chaque visite.
Le salaire annuel d’un agent augmente de 3 % chaque année. La suite des salaires annuels successifs est :
- A. géométrique de raison 1,03
- B. arithmétique de raison 3
- C. géométrique de raison 0,03
- D. arithmétique de raison 1,03
Réponse A. Augmenter de 3 %, c’est multiplier par 1 + 3/100 = 1,03. Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par 1,03 : la suite est géométrique de raison 1,03.
Que vaut la somme 1 + 2 + 3 + … + 100 ?
- A. 5 000
- B. 5 050
- C. 10 100
- D. 5 100
Réponse B. La somme des n premiers entiers vaut n(n + 1)/2, soit 100 × 101/2 = 5 050. La valeur 10 100 oublie la division par 2.
Que vaut la somme 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2⁹ ?
- A. 1 023
- B. 1 024
- C. 512
- D. 2 047
Réponse A. C’est la somme de 10 termes d’une suite géométrique de raison 2 : (2¹⁰ − 1)/(2 − 1) = 1 024 − 1 = 1 023.
Une suite géométrique de premier terme u₀ = 8 et de raison q = 1/2 :
- A. tend vers +∞
- B. est constante
- C. tend vers 8
- D. converge vers 0
Réponse D. Si −1 < q < 1, alors qⁿ tend vers 0, donc uₙ = 8 × (1/2)ⁿ converge vers 0. La suite est décroissante, mais ses termes restent positifs.
Pour a > 0 et b > 0, ln(ab) est égal à :
- A. ln a × ln b
- B. ln a + ln b
- C. ln a − ln b
- D. ln(a + b)
Réponse B. Le logarithme transforme un produit en somme : ln(ab) = ln a + ln b. Par exemple, ln 6 = ln 2 + ln 3.
Quelle est la solution de l’équation eˣ = 3 ?
- A. x = e³
- B. x = 3/e
- C. x = ln 3
- D. x = log 3 − 1
Réponse C. Les fonctions exp et ln sont réciproques : eˣ = 3 équivaut à x = ln 3 (environ 1,10).
Quel est l’ensemble des solutions de l’inéquation ln x < 0 ?
- A. ]−∞ ; 1[
- B. ]1 ; +∞[
- C. ]0 ; 1[
- D. ]−∞ ; 0[
Réponse C. ln est définie sur ]0 ; +∞[, strictement croissante, et ln 1 = 0. Donc ln x < 0 équivaut à 0 < x < 1. Les réels négatifs sont exclus car ln n’y est pas définie.
À quoi est égal le nombre e³ × e⁻¹ / e ?
- A. e²
- B. 1
- C. e³
- D. e
Réponse D. On additionne et on soustrait les exposants : e³⁻¹⁻¹ = e¹ = e. Le piège e² oublie la division par e.
Quel est l’ensemble de définition de la fonction f(x) = ln(x − 2) ?
- A. ]0 ; +∞[
- B. [2 ; +∞[
- C. ]2 ; +∞[
- D. ℝ
Réponse C. Il faut x − 2 > 0, donc x > 2. La borne 2 est exclue, car ln 0 n’existe pas.
Que vaut la limite de (ln x)/x quand x tend vers +∞ ?
- A. +∞
- B. 0
- C. 1
- D. −∞
Réponse B. C’est une croissance comparée : x l’emporte sur ln x en +∞, donc (ln x)/x tend vers 0.
Conseil : avant de résoudre une équation avec ln, écrivez toujours le domaine de validité : l’argument du logarithme doit être strictement positif.
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