QCM Maths niveau BAC : fonctions, dérivées, limites et asymptotes (10 questions corrigées)

Cette série révise l’étude de fonctions telle qu’elle est exigée au BAC : dérivées usuelles, calculs de limites, asymptotes, variations et tangente. Elle est utile pour les concours scientifiques comme l’INP-HB, l’ENSEA ou les écoles d’ingénieurs.

1. Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = √x ?

   • A. 1/(2√x)
   • B. 2√x
   • C. 1/√x
   • D. √x/2

   Réponse A. La dérivée de √x est 1/(2√x). Le piège 1/√x oublie le facteur 1/2.

2. f est continue et strictement croissante sur [a ; b], avec f(a) < 0 et f(b) > 0. Combien de solutions l’équation f(x) = 0 admet-elle sur [a ; b] ?

   • A. Aucune
   • B. Au moins deux
   • C. Exactement une
   • D. On ne peut pas savoir

   Réponse C. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, 0 est atteint au moins une fois ; comme f est strictement croissante, il ne l’est qu’une fois. L’équation a donc une solution unique.

3. Que vaut la limite de (sin x)/x quand x tend vers 0 ?

   • A. 0
   • B. +∞
   • C. 1
   • D. Elle n’existe pas

   Réponse C. C’est une limite de référence : (sin x)/x tend vers 1 quand x tend vers 0. Elle correspond au nombre dérivé de sin en 0, qui vaut cos 0 = 1.

4. Que vaut la limite de (x² − 4)/(x − 2) quand x tend vers 2 ?

   • A. 0
   • B. 2
   • C. La limite n’existe pas
   • D. 4

   Réponse D. On a une forme 0/0. En factorisant, x² − 4 = (x − 2)(x + 2), donc pour x ≠ 2 le quotient vaut x + 2, qui tend vers 4.

5. La courbe de f(x) = (4x − 1)/(2x + 3) admet en +∞ une asymptote d’équation :

   • A. y = 2
   • B. y = −1/3
   • C. x = −3/2
   • D. y = 4

   Réponse A. La limite en +∞ vaut 4x/2x = 2, d’où l’asymptote horizontale y = 2. La droite x = −3/2 est l’asymptote verticale, pas celle en +∞.

6. La courbe de f(x) = 2x + 1 + 1/x admet en +∞ une asymptote oblique d’équation :

   • A. y = 2x
   • B. y = 2x + 1
   • C. y = x + 1
   • D. y = 1/x

   Réponse B. On a f(x) − (2x + 1) = 1/x, qui tend vers 0 en +∞. La droite y = 2x + 1 est donc asymptote oblique à la courbe.

7. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f(x) = x² au point d’abscisse 1 ?

   • A. y = 2x + 1
   • B. y = x + 1
   • C. y = 2x − 1
   • D. y = 2x

   Réponse C. La tangente a pour équation y = f′(1)(x − 1) + f(1). Ici f′(x) = 2x, donc f′(1) = 2 et f(1) = 1 : y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.

8. Quelle est la valeur minimale de la fonction f(x) = x² − 4x + 1 sur ℝ ?

   • A. 1
   • B. −4
   • C. 2
   • D. −3

   Réponse D. f′(x) = 2x − 4 s’annule en x = 2. f est décroissante puis croissante, et le minimum vaut f(2) = 4 − 8 + 1 = −3. La valeur 2 est l’abscisse du minimum, pas sa valeur.

9. Quelle est la dérivée de f(x) = (2x + 1)³ ?

   • A. 6(2x + 1)²
   • B. 3(2x + 1)²
   • C. 2(2x + 1)³
   • D. 6(2x + 1)

   Réponse A. On applique (uⁿ)′ = n·u′·uⁿ⁻¹ avec u = 2x + 1 et u′ = 2 : 3 × 2 × (2x + 1)² = 6(2x + 1)². Le piège 3(2x + 1)² oublie la dérivée de u.

10. Si f′(x) < 0 pour tout x d’un intervalle I, alors sur I la fonction f est :

    • A. strictement croissante
    • B. strictement décroissante
    • C. constante
    • D. toujours négative

    Réponse B. Le signe de la dérivée donne le sens de variation : f′ < 0 sur I signifie que f est strictement décroissante sur I. Cela ne dit rien du signe de f elle-même.

Exercices originaux rédigés par Projobivoire Concours d’après le format des épreuves des concours ivoiriens. Reproduction interdite.